2006年08月01日

検証:テポドンは何キロ飛んだ?

高校物理の問題でといてみよー♪


1.ミサイルは角度`theta`傾いて発射
2.その角度を保ったまま等加速度運動をして発射から40秒後、高度1.5kmに達した。またそのときの飛行距離は、発射台から見て`x_1` kmであった。
3.その直後、ミサイルは制御不能に陥り爆発した。

このとき以下の問いに答えなさい。
(1) 40秒後の`x`(横)方向の速度`v_x`と`y`(高さ)方向の速度`v_y`を km/s の単位で求めなさい。
(2) 爆発後、落下するまでにかかる時間`t'`を求めなさい。
(3) 最終的にミサイルの残骸が落下する位置は`x_1`の何倍になるか計算しなさい。
(4) `theta`が60度、45度、30度のときの`x_2`を計算しなさい。

ただし、ミサイルの運動に伴う空気抵抗は考えないものとし、重力加速度`g=`10/1000 km/s2とする。

問題設定は下記の図を参照してください。



高校のテストのように計算機をつかわずに解きます。

大前提
等加速度運動
`t=0`における初期位置`x_0`、初速度`v_0`、加速度`a`とする。`t`秒後における質点の運動は
`a(t)=a`・・・・・・・・@
`v(t)=v_0 + a * t`・・・・・・・・・A
`x(t)=x_0 + v_0 * t + 1/2 a * t ^2`・・・・・・B

で記述される。

解答
(1) 問題より、初速度は0、初期高さは0である。A式とB式から`v_0=0`のとき
`v(t)=2 / t * x(t)`・・・・・・C

である。t=40の時、`x(t)=x_1`に達したのとあるのでC式から
`v_x= x_1/20`

同様に
`v_y= 1.5/20=75/1000`


(2) B式を`x to y`,`v_0 to v_y, a=-g`とする(自由落下の式)。
`y(t)=y_0+v_y*t'-1/2*g*t'^2`
`y(t) = 1.5 + 75/1000 *t' - 1/2 * 10/1000 * t'^2 `

落下したとき`y(t')=0`の`t'`を求めたいので
`0 = 1.5 + 75/1000 *t' - 1/2 * 10/1000 * t'^2`
`0 = 150 + 7.5 *t' - 1/2 * t'^2`
解の公式を用いて
`t'=7.5+sqrt(7.5^2 +300)`

`sqrt(7.5^2 +300)`の計算はニュートン法を用います。まずルートの中身は計算すると356.25なので、その平方根は大雑把に20くらいと考えます。356.25を20で割ると17.8・・・なので、`sqrt(7.5^2 +300) ~=`(20+17.8)/2=18.9となります。疑い深い人は電卓で計算して。
というわけで、
t'=7.5+18.9=26.4

爆発後26秒で地上に着弾。

(3) 爆発後、ミサイルの横方向の速さは変わらないので
`x_2=x_1+v_x * t'`
` =x_1+x_1/20 * 26.1`
` =x_1*2.32`

落下地点`x_2`は`x_1`の2.32倍
有効桁は気にしない♪

taep.pltのなかに
set xtics ("x1" x1,"x2" 2.32*x1)

という行があると思います。これは、図中の`x_2`を示す縦線は`x_1`の2.32倍の位置に書かれていることを示しています。

(4) 面倒くさいので45度のときだけを計算します。弾道が斜辺を描くような直角二等辺三角形を考えればよいので、`x_1=1.5`となります。(3)の結果から
`x_2=1.5*2.3=3.5` km





で・・・どうやったら数十キロも飛ぶんですかねぇ(^_^;)
posted by metola at 14:55| Comment(0) | TrackBack(0) | 日記 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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